机械臂笔记（七）机械臂动力学参数辨识

在前面的文章中，我们得到了机械臂动力学模型的理想方程：

\tau = M(q)q'' + C(q,q')q'+G(q) \tag{1}

但是实际上，伴随着制造误差、运动摩擦、磨损、负载变化等，这个理想模型很难直接应用到工业生产中，我们还需要通过后期实验数据，来计算机器人/机械臂的整体辨识参数。这些参数主要包含机械臂关节的质量、转动惯量、摩擦力等各种固有属性。

虽然动力学方程对于 $q,q',q''$ 是非线性的，但是对于上述固有属性确是线性的，因此，上述 $(1)$ 式可以写作：

\vec{\tau} = Y(q,q',q'')\vec{\theta} \tag{2}

然后：

\vec{\theta} = (Y^TY)^{-1}Y^T\vec{\tau} \tag{3}

以1R 机械臂为例

一个关节转动时，其力矩主要有以下四个来源：

\begin{array}{lllll} \tau_J & = & Jq'' & \dots & _{惯量（转得快、加速大 → 费力）} \\ \tau_b & = & bq' & \dots & _{粘性摩擦（转得越快阻力越大）} \\ \tau_f & = & f sign(q') & \dots & _{库仑摩擦（正转一股力，反转一股力）} \\ \tau_g & = & k_g \cos (q) & \dots & _{重力（姿态不同 → 要托住）} \end{array} \tag{4}

合在一起即可得到一个可辨识的模型：

\begin{array}{lllll} \tau & = & Jq'' + bq' + f sign(q') + k_g \cos (q) \\ & = & \underbrace{\begin{bmatrix} q'' & q' & sign(q') & \cos(q)\end{bmatrix}}_{非线性部分 Y} \underbrace{\begin{bmatrix} J \\ b \\ f \\ k_g\end{bmatrix}}_{固有属性 \vec{\theta}} \end{array} \tag{5}

实验中，上式左边的力矩，右边的非线性部分，都可以通过测量或者简单地计算得出。根据实验数据，我们可以得出一批关于 $\vec{\theta}$ 的方程组，之后通过最小二乘法等统计学分析工具，就可以得出所需的 $\vec{\theta}$ 。

先假设两个关节互不影响，对系统进行建模：

\begin{array}{lllll} \begin{bmatrix} \tau_1 \\ \tau_2 \end{bmatrix} & = & \begin{bmatrix} J_1q''_1+b_1q'_1+f_1 sign(q'_1) + k_{g_1}\cos(q_1) \\ J_2q''_2+b_2q'_2+f_2 sign(q'_2) + k_{g_2}\cos(q_1+q_2) \\ \end{bmatrix} \\ & = & \begin{bmatrix} q''_1 & q'_1 & sign(q'_1) & \cos(q_1) &0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 & q''_2 & q'_2 & sign(q'_2) & \cos(q_1+q_2) \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} J_1 \\ b_1 \\ f_1 \\k_{g_1} \\ J_2 \\ b_2 \\ f_2 \\k_{g_2} \end{bmatrix} \end{array} \tag{6}

\begin{array}{lllll} \tau_1 & = & \begin{bmatrix} q''_1 & q''_2 & \cos(q_2)q''_1 & q'_1 & sign(q'_1) & \cos(q_1) & \cos(q_1+q_2) \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} J_{11} \\ J_{12} \\ k_{12} \\ b_1 \\ f_1 \\k_{g_1} \\ k_{g_2} \end{bmatrix} \\ \tau_2 & = & \begin{bmatrix} q''_1 & q''_2 & \cos(q_2)q''_2 & q'_2 & sign(q'_2) & \cos(q_1+q_2) \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} J_{21} \\ J_{22} \\ k_{21} \\ b_2 \\ f_2 \\ k_{g_3} \end{bmatrix} \\ \end{array} \tag{7}

实际测量中，对于矩阵 $Y$ 经常存在以下情况：

例如，机械臂的参数：

它们几乎永远以组合的形式出现，例如：

例如：

\tau = \begin{bmatrix}3 \\ 6 \\ 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 &1 \\ 2&2 \\3&3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a \\ b\end{bmatrix} \tag{8.1}

会发现 $(a,b)$ 有无穷多个解。则需要对矩阵进行奇异值分解、提取可辨识子空间、构造基参数、压缩回归矩阵（看不懂了）

简单理解就是合并有线性关系的参数。减少回归矩阵的维度（把 $a+b$ 看作一个变量）：

\tau = \begin{bmatrix}3 \\ 6 \\ 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}(a + b)\end{bmatrix} \tag{8.2}

之后就可解了。

最好是：每学一层理论，都配上一个最小可运行的实验！不然根本不知所云~