D-H 参数表的建立

发表于 2025-11-18 更新于 2025-11-19 分类于 math 阅读次数：本文字数： 1.6k 阅读时长 ≈ 6 分钟

记录下机械臂D-H建模的基本过程，基本不牵扯公式推导，只记录直观解释。「还不是特别清晰」

基础知识

一般我们计算机械臂末端的位置和姿态，位置信息可以用一个三维向量表示：

\vec{P} = \begin{bmatrix} x & y & z\end{bmatrix}^T \tag{1}

姿态信息可以通过一个正交矩阵表示：

\boldsymbol{T_0} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \tag{2}

列向量表示 $x,y,z$ 轴的朝向。

旋转变换

将三维向量左乘一个旋转矩阵即可，有三个基本形式的旋转矩阵（分别绕 $x,y,z$ 轴）：

\boldsymbol{R}_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta) & -sin(\theta) \\ 0 & sin(\theta) & cos(\theta)\end{bmatrix}\tag{3}

\boldsymbol{R}_y(\theta) = \begin{bmatrix} cos(\theta) & 0 & sin(\theta) \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin(\theta)& 0 & cos(\theta)\end{bmatrix}\tag{4}

\boldsymbol{R}_z(\theta) = \begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) & 0 \\ sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\tag{5}

空间中的旋转可以通过上边两两组合得到，机械臂中一般组合 $\boldsymbol{R}_z, \boldsymbol{R}_x$ 。

平移变换

如果需要将向量 $\vec{P}$ 分别沿 $x,y,z$ 轴平移 $x_0,y_0,z_0$ ，则可以左乘下面矩阵：

\boldsymbol{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 &x_0\\ 0 & 1 & 0 &y_0 \\ 0 & 0 & 1 &z_0 \\ 0&0&0&1\end{bmatrix} \tag{6}

将旋转矩阵扩展进来，则的到齐次变换矩阵（以绕 $x$ 轴旋转后再平移为例）：

\boldsymbol{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 &x_0\\ 0 & cos(\theta) & -sin(\theta) &0 \\ 0 & sin(\theta) & cos(\theta) &0 \\ 0&0&0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{R} & \vec{P} \\ 0 &1 \end{bmatrix}\tag{7}

实际上，在机械臂中，一般也用齐次矩阵的形式表示末端的状态。在机械臂中如果有多个关节，知道每个关节相对于前一个关节的齐次变换矩阵，依次相乘就能计算出末端相对于起始位置的坐标：
$\vec{P}_{new} = (\boldsymbol{T}_n\boldsymbol{T}_{n-1}\cdots\boldsymbol{T}_1)\vec{P}_{local} \tag{8}$
变换算子左乘：表示该变换是相对固定坐标系变换：

把物体在世界坐标系下旋转 $90\degree$ ， $\boldsymbol{T}' = \boldsymbol{R}_z(90\degree)\boldsymbol{T}$ ；

变换算子右乘：表示该变换是相对动的坐标系（新坐标系）变换,多个关节的变换是“粘在”前一个姿态后面:

夹爪坐标系下向前走 $1cm$ ， $\boldsymbol{T}' = \boldsymbol{T}\boldsymbol{Trans}_x(1)$

标准D-H 参数表

关节坐标系间的变换无非是平移和旋转，但是无论平移还是旋转，都是以 $z,x$ 轴为基准的，当然也可以用 $z, y$ 轴，只是不常见而已。

建表步骤

确定每个关节的 $z$ $z$ 轴，尽量不要改变 $z$ $z$ 轴方向：
- 转动关节 $z$ 轴沿转动轴方向；
- 平动关节 $z$ 轴沿伸缩方向；
确定每个关节的 $x$ $x$ 轴，尽量不要改变 $x$ $x$ 轴方向：
- 选择当前关节与上一个关节 $z$ 轴的公垂线方向；
- 如果当前关节与上一个关节平行，则选择两个关节连线的方向；
确定（关节）坐标系原点，一般选在关节轴（的几何中心）上：
- 选择当前关节与上一个关节 $z$ 轴相交，则选择交点；
- 选择当前关节与上一个关节 $z$ 轴平行，常选择上一轴的投影或连杆长度起点，以保证 DH 参数唯一性；
- 当前关节与上一个关节 $z$ 轴异位（既不平行也不相交）。选择公垂线与当前轴的交点作为坐标系原点。

旋转平移的顺序

^{i-1}_i\boldsymbol{T}=\boldsymbol{Rot}_{z_i-1}(\theta_i)\boldsymbol{Trans}_{z_i-1}(d_i)\boldsymbol{Trans}_{x_i}(a_i) \boldsymbol{Rot}_{x_i}(\alpha_i)\tag{9}

先按 $z_{i-1}$ 轴（起始坐标系）旋转 $\theta_i$ ，使得 $x_i, x_{i-1}$ 轴指向一致；
再沿 $z_{i-1}$ 轴（起始坐标系）平移 $d_i$ ，使得 $x_i, x_{i-1}$ 轴重合；
再沿 $x_{i}$ 轴（目标坐标系）平移 $a_i$ ，使得起始坐标系和目标坐标系原点重合；
最后 $x_{i}$ 轴（目标坐标系）旋转 $\alpha_i$ ，使得起始坐标系和目标坐标系完全一致；

改进D-H 参数表

^{i-1}_i\boldsymbol{T}=\boldsymbol{Rot}_{x_i-1}(\theta_i)\boldsymbol{Trans}_{x_i-1}(d_i)\boldsymbol{Trans}_{z_i}(a_i) \boldsymbol{Rot}_{z_i}(\alpha_i)\tag{10}

改进D-H 与标准D-H 算法相比，差异点主要在旋转平移的操作顺序，并且 $x$ 轴的选择是参考当前关节与下一个关节：

先按 $x_{i-1}$ 轴（起始坐标系）旋转 $\alpha_i$ ，使得 $z_i, z_{i-1}$ 轴指向一致；
再沿 $x_{i-1}$ 轴（起始坐标系）平移 $a_i$ ，使得 $z_i, z_{i-1}$ 轴重合；
再按 $z_{i}$ 轴（目标坐标系）旋转 $\theta_i$ ，使得起始坐标系和目标坐标系姿态一致；
最后沿 $z_{i}$ 轴（目标坐标系）平移 $d_i$ ，使得起始坐标系和目标坐标系原点重合；

示例 PUMA 560 改进D-H 参数表

需要注意的是第三节机械臂的转动轴不是平行的：

1. 确定z 轴及方向

2. 根据z 轴方向确定x 轴的方向

x 轴的指向尽量保持不变，z 轴也是，这样得到的参数表会比较简洁

3. 填写参数表

当前坐标系 $i-1$	下一个关节 $i$	$\boldsymbol{R}_x/\alpha_i$	$d_x/a_i$	$\boldsymbol{R}_z/\theta_i$	$d_z/d_i$
$0$	$1$	$0$	$0$	$\theta_1$	$0$
$1$	$2$	$-\frac{\pi}{2}$	$0$	$\theta_2$	$0$
$2$	$3$	$0$	$a_2$	$\theta_3$	$d_3$
$3$	$4$	$-\frac{\pi}{2}$	$a_3$	$\theta_4$	$d_4$
$4$	$5$	$\frac{\pi}{2}$	$0$	$\theta_5$	$0$
$5$	$6$	$-\frac{\pi}{2}$	$0$	$\theta_6$	$0$

正向过程的矩阵计算过程见参考资料[5-6]。需要注意的是，这样建立的参数表的世界坐标系原点位于第1,2 轴的交点。