RK4 中PID 算法的初值问题

考虑一个问题：当系统开始运行时PID 控制器的输出应该是0，还是其他值呢？

在状态空间方程中，方程的左边都是变量的微分，所以这就要求我们需要用微分的形式表示各种运算，包括算术方程。而将算术方程转化为微分方程时最重要的部分就是初始值的处理。例如：

• 常数$c$：微分为$0$，初始值是$c$
• 线性函数$kt+b$：微分是$k$，初始值是$b$
• 二次函数$at^2+bt+c$：微分是$2at+b$，初始值是$c$

理想的控制器包含有：比例环节、积分环节和微分环节，其中：

• 比例环节是一个线性函数$k_pe$，似乎初始值应当为$0$
• 积分环节的初始值应当为$0$
• 微分环节的初始值也应该为$0$ 吗

但是，因为比例环节$k_pe(t)=k_p(r-u)$的输入会立即反映到输出端，所以在系统初始化时，比例环节的初始值应当是$k_pe_0=k_pr$，之后再以$k_p\dot{e}(t)$ 的速率变化。否则的话，则不能正确反映比例环节的变化情况。而积分环节是对于误差的积分，初始值为$0$ 是显而易见的。最后对于微分环节$k_d\dot{e}(t)=-k_d\dot{u}$，其微分是$-k_d\ddot{u}$，可见其初始值至于系统的输出的变化率有关，而系统的输出的变化率在$t_0$ 时一般也为$0$。

综上，在自己建立状态方程式，控制器的初始值，其中的比例部分应当设置为$k_pe_0=k_pr$。

一个直流电机的例子

目前对于此类问题的认知还不够全面，需要在后续的实践中再加以总结。然而在建立微分方程时应当时刻考虑初始值的问题，尤其是对于方程中包含算术方程、反馈运算的时候需要尤其注意。

---

2023-04-26 Aachen