电机与驱动读书笔记（预备知识）

《Electric Motors and Drives: Fundamentals, Types and Applications. 3rd Edition》的读书笔记。与其他的教材不同，这本书更偏向于工程实践，能让人对电机有更加直观的印象。笔记中的图片如无特殊说明均截自本书。

预备知识

右手定则

磁场在电机中扮演举足轻重的角色，了解矢量在右手坐标系中的叉乘，将有助于对磁场、磁通量和安培力的理解与学习。如下图所示，如果矢量$\vec{z}=\vec{x}\times\vec{y}$，那么并拢右手四指指向$\vec{x}$，掌心朝向$\vec{y}$，则拇指竖起便是$\vec{z}$ 的方向。

通过右手定则，可以快速判断各类矢量的方向，如磁通量、安培力等。

磁通量

磁通量（magnetic flux）的定义就是磁感线穿过平面S的数量。符号是$\boldsymbol{\Phi}$，单位是韦伯$Wb$。
在通电螺线管中，磁通量的方向由右手螺旋定则确定，大小与电流$\boldsymbol{I}$和匝数$N$ 之间有如下关系：

$$\boldsymbol{\Phi} = \frac{N \boldsymbol{I}}{\boldsymbol{R}} \tag{1}$$

而安匝数则是通电螺线管的磁通势（magnet motive force）:$MMF=N\boldsymbol{A}$

其中，$\boldsymbol{R}$ 表示介质的磁阻，类比于电阻：

$$\boldsymbol{R} = \frac{l}{\boldsymbol{A}\mu} \tag{2}$$

一般来说，空气的磁导率$\mu_{0}=4\pi\times10^{-7} H/m$，远小于铁磁材料的磁导率。故磁感线会优先集中分布在铁磁材料中，而整个回路的磁阻，基本可以近似看作由气隙的长度和面积决定。
当然，考虑材料的饱和时需要特殊考虑，但这也是电机设计时需要避免的情况，所以不做考虑。

磁通密度

磁通密度，也叫磁感应强度，表示单位面积上的磁通量，符号是$\boldsymbol{B}$，单位是特斯拉$T$。可以理解为磁感线在介质中的密度。

$$\boldsymbol{B} = \frac{\boldsymbol{\Phi}}{\boldsymbol{A}} \tag{3}$$

在均匀（磁导率处处相同）介质中，磁感线是均匀分布的，于是截面积越小的地方，磁通密度越大。如下图中$\boldsymbol{B}_a = 2\boldsymbol{B}_b$

考虑$(1)(2)(3)$式，可以得出，在如下图所示的气隙内，其平均磁通密度：

$$\boldsymbol{B} = \frac{\mu_0N\boldsymbol{I}}{L_{gap}} \tag{4}$$

由$(4)$可以看出，磁通密度只与电流、匝数和气隙长度相关。考虑$250$ 匝、$10A$ 的电流，气隙长度为$1mm$，则其平均磁通密度约为$0.63 T$。

常见情况是，在电机的励磁中，往往磁通量很小，但是磁通密度却很大，一般电机的气隙中的磁通密度都能达到$1T$ 左右。

安培力

在磁场中的通电导线会受到安培力，具体表现为：

$$\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\boldsymbol{B}l \tag{5}$$

这里$l$ 表示有效长度，即导线长度与磁场的垂直分量的长度。

电动机

一些常见的概念

• 电动机中，不需要考虑转子电流对气隙磁场产生的影响；
• 在$1T$ 的磁通密度下，磁极接触面产生的吸力大概为$40N/cm^2$，意思是大概每平方厘米能提起$4kg$ 重物；
• 一般转子有偶数个磁极，否则容易产生噪音；

齿槽转矩

问题：磁力线会集中在磁极部分，那么通电导体所在的齿槽的磁通其实很小，为什么转矩反而没有很小呢？ 答：因为磁力线会将转子拉到磁阻最小的部分，也就是说大部分转矩是由于转子与定子之间的磁场产生的，而不是电磁力。

• 为了避免齿部磁场饱和
  • 一般转子绕组电流$2A/mm^2<I<8A/mm^2$；
  • 齿不能太窄，也不能太深；

电机的转矩

电机的输出转矩一般决定于电机的尺寸

平局磁通密度$\bar{B}$：在一个磁极下，近似认为转子是平滑的，气隙的平均磁通密度。
平均电流密度$\bar{A}$：在一个磁极下，其通过电流的总和除以磁极的弧长。
上面的参数一般受材料特性影响。这也限制了一般尺寸相同的电机，他们的额定转矩也差不多。（气隙是必须的，因为要形成有效的磁路）

$$\boldsymbol{T=(\bar{A}\bar{B})\times(\pi DL)\times\frac{D}{2}=\frac{\pi}{2}(\bar{A}\bar{B})D^2L} \tag{6}$$

其中：

• $\boldsymbol{(\bar{A}\bar{B})}$ 表示单位面积的受力
• $\boldsymbol{(\pi DL)}$ 表示磁极下的有效面积
• $\boldsymbol{\frac{D}{2}}$ 表示转子力臂长度

电机的功率

一般我们会讨论电机的输出功率与其体积的比值，即功率密度。

电机的输出功率：$\boldsymbol{P=T\times\omega}$，而功率密度：

$$\boldsymbol{Q=\frac{T\omega}{\pi D^2L}=\bar{A}\bar{B}\frac{\omega}{2}} \tag{7}$$

需要注意的一点是：力矩是加速转动的原因

电机的反电动势

对于在磁场中运动的导体来说，由于切割磁感线，导体内部会产生电动势：

$$\boldsymbol{V=vBl} \tag{8}$$

反电动势方向总与输入电压相反，大小总与转速相关。

而电机中的绕组一般还会有铜耗（电阻$R$），所以在电机匀速转动时，其转子的电压平衡方程有：

$$\boldsymbol{U_{in} + IR + vBl = 0} \tag{9}$$

电机的输出特性

由方程$(6),(9)$ 可以看出，电机的转速与负载相关。在空载时，其电流与转速随时间的变化如下图所示：

而由于励磁影响电机的反电动势，所以电机空载转速会随着励磁的增加而减小，如下图所示：

由$(6)$ 可知，电机的输出扭矩与电枢电流正相关，所以负载越大，电枢电流就会越大。而电枢电流的增大会导致铜耗增加，唯有反电动势减小才能使得回路电压平衡。于是转速会迅速降低。关系大致如下：

$$\boldsymbol{U_{in}=a_1TR+a_2B\omega} \tag{10}$$

在电枢电阻为0时，电机转速不受负载影响。而电枢电阻越大，电机降速就会越快，如下图：

当然，励磁也会对电机速度有影响，具体表现为：励磁越强，电机转速降低越不明显：

上面两幅图其实横纵坐标对调一下就更容易看懂了。当然，上面的分析需要引申一下才能用到电机的暂态过程。