Z 变换

发表于 2022-10-07 更新于 2025-06-30 分类于 math 阅读次数：本文字数： 389 阅读时长 ≈ 1 分钟

Z 变换主要用于分析离线系统（可能主要用于简化计算）。一般地，对于连续的输入函数，可以用单位冲激函数将其拆分为一串冲击函数序列（采样）：

f(t) = \sum_{n=0}^{\infty} f(n \tau) \delta(t-n \tau) \tag{1}

对1 式进行拉普拉斯变换，得到：

F_{sample}(s) = \int_{-\infty}^{\infty} [\sum_{n=0}^{\infty} f(n \tau) \delta(t-n \tau)] e^{-st} dt \tag{2}

= \sum_{n=0}^{\infty} f(n \tau) e^{-sn \tau} \tag{3}

不用管怎么来的（冲激函数筛选性质4），直接用即可。

\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta (t-t_0) dt = f(t_0) \tag{4}

对于3 式中， $e^{sn \tau}, s = \sigma + j \omega \rightarrow e^{(\sigma + j \omega) n \tau} \rightarrow e^{\sigma n \tau} + e^{j \omega n \tau}$ 。相当于一串离散的拉普拉斯变换？
令 $Z = e^{s \tau} = e^{(\sigma + j \omega) \tau}$ ，Z 可以理解为一个螺旋前进的复数，而n 与离散有关。

X_{(z)} = \sum_{n= -\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \tag{5}

奈奎斯特采样定理

在进行模拟/数字信号的转换过程中，当采样频率fs.max大于信号中最高频率fmax的2倍时(fs.max>2fmax)，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的2.56～4倍。

奈奎斯特采样定理

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