拉普拉斯变换

发表于 2022-10-07 更新于 2025-06-30 分类于 math 阅读次数：本文字数： 961 阅读时长 ≈ 3 分钟

傅里叶变换可以将一个函数用一组正弦函数表示，但是这种表示存在一种缺陷：因为正弦函数都是周期变化的，所以无法用来表示发散的函数， $f(t) = t$ 。

为了弥补这个缺陷，我们需要一个函数因子来将快速增长的原函数压制下来，最为理想的就是指数函数 $e^{-σt}$ 了，因为这个函数本身就是收敛的，且下降速度大于常见的大部分函数。

推导过程

F_{(ω)} = \int_{-\infty}^{\infty}f_{(t)} e^{-σt} e^{-jωt} dt \tag{1}

其中：

e^{-σt} e^{-jωt} = e^{-(σ+jω)t} \tag{2.a}

令：

s = σ+jω \tag{2.b}

则有了拉普拉斯及其逆变换的标准形式：

F_{(s)} = \mathscr{L}[f_{(t)}] = \int_{-\infty}^{\infty}f_{(t)} e^{-st} dt \tag{3.a}

f_{(t)} = \frac{1}{2πj} \int_{σ-j\infty}^{σ+j\infty}F_{(s)} e^{st} ds \tag{3.b}

拉普拉斯变换可以看作是将一个函数，用一组指数增长的正弦函数来表示。

而在自动控制与信号处理上，积分区间一般为[0, ∞]，故而常写作：

F_{(s)} = \mathscr{L}[f_{(t)}] = \int_{0^-}^{\infty}f_{(t)} e^{-st} dt \tag{4.a}

f_{(t)} = \frac{1}{2πj} \int_{σ-j\infty}^{σ+j\infty}F_{(s)} e^{st} ds \tag{4.b}

以 $σ$ 为横坐标， $jω$ 为纵坐标，满足 $σ$ 大于某个值时，才能使得原函数的增长速度不高于 $e^{-st}$ 的收敛速度

虽然拉普拉斯变换的公式并不复杂，但工程上还是常用查表的方式来计算

这里推导几个比较常用的性质

这里不做解释

若 $\mathscr{L}[f_{(t)}] = F_{(s)}$ ，则

\int_{-\infty}^{\infty} f_{(t)} e^{-at} e^{-st} dt = \int_{-\infty}^{\infty}f_{(t)}e^{-(a+s)t} dt = F_{(s+a)}

若 $\mathscr{L}[f_{(t)}] = F_{(s)}$ ，则

\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d f_{(t)}}{d t} e^{-st} dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} d f_{(t)}

= e^{-st} f_{(t)} |^{\infty}_{-\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} f_{(t)} de^{-st}

= e^{-st} f_{(t)} |^{\infty}_{-\infty} + s \int_{-\infty}^{\infty} f_{(t)} e^{-st} dt

= sF_{(s)} + e^{-st} f_{(t)} |^{\infty}_{-\infty}

若 $\mathscr{L}[f_{(t)}] = F_{(s)}, h_{(t)} = \int f_{(t)} dt$ 则

F_{(s)} = \mathscr{L}[f_{(t)}] = \mathscr{L}[ \int_{-\infty}^{\infty} h'_{(t)} dt ]

= sH_{(s)} + e^{-st} h_{(t)} |^{\infty}_{-\infty}

H_{(s)} = \frac{F_{(s)}}{s} - \frac{e^{-st} h_{(t)} |^{\infty}_{-\infty}}{s}

若 $\mathscr{L}[f_{(t)}] = F_{(s)}$ ，则

\int_{-\infty}^{\infty} f_{(at)} e^{-st} dt \overset{x=at}{====>} \int_{-\infty}^{\infty} f_{(x)} e^{-\frac{s}{a}x} d f_{(\frac{x}{a})}

= \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{\infty} f_{(x)} e^{-\frac{s}{a}x} d f_{(x)}

= \frac{1}{a} F_{(\frac{s}{a})}

\int_{-\infty}^{\infty} f_{(t-\tau)} e^{-st} dt \overset{x=t-\tau}{====>} \int_{-\infty}^{\infty} f_{(x)} e^{-s(x+\tau)} d f_{(x+\tau)}

= e^{-\tau s} \int_{-\infty}^{\infty} f_{(x)} e^{-x s} d f_{(x)}

= e^{-\tau s} F_{(s)}

若 $\mathscr{L}[f_{(t)}] = F_{(s)}$ ， $\mathscr{L}[h_{(t)}] = H_{(s)}$ ，则

\mathscr{L}[(f*h)(t)] = F(s)H(s)

\cos{ωt} = \frac{e^{jωt} + e^{-jωt}}{2}

\mathscr{L}[\cos{ωt}] = \mathscr{L}[\frac{e^{jωt}}{2}] + \mathscr{L}[\frac{e^{-jωt}}{2}]

= \frac{1}{2}( \frac{1}{s-jω} + \frac{1}{s+jω} )]

= \frac{s}{s^2+ω^2}

同理

\sin{ωt} = -j \frac{e^{jωt} - e^{-jωt}}{2}

\mathscr{L}[\sin{ωt}]=-j (\mathscr{L}[\frac{e^{jωt}}{2}] - \mathscr{L}[\frac{e^{-jωt}}{2}])

= \frac{-j}{2}( \frac{1}{s-jω} - \frac{1}{s+jω} )]

= \frac{ω}{s^2+ω^2}