傅里叶变换

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傅里叶变换是将一个函数用一组正弦函数的叠加来无限逼近/等效。发展历程大致如下：

  • 牛顿三色光实验
  • 泊松用三角级数表示一些周期性的函数
  • 傅里叶在研究热传导时，将所有函数都以三角级数的形式表示，见《热的解析理论》
  • 狄利克雷给出傅里叶变换的充分必要条件
  • 拉普拉斯变换扩展了傅里叶变换的适用范围

三角函数

  • 三角函数的微积分还是三角函数
  • 天然包含了周期性的振动信息
  • 三角函数的正交性：下面三角函数系中，任取两个不同的函数在区间[-π,π] 上的积分等于0，所以可以用正弦函数来筛选函数中某一正弦分量

    {1,cos⁡x,sin⁡x,cos⁡2x,sin⁡2x,...,cos⁡nx,sin⁡nx,...}(1)\{ 1, \cos{x}, \sin{x}, \cos{2x}, \sin{2x}, ..., \cos{nx}, \sin{nx}, ... \} \tag{1}

推导过程

推导过程可能不严谨，但是应该算比较好懂。首先我们将一个函数f(x) 写作一组正弦函数累加的形式：

f(t)=∑n=1∞Ancos⁡(nω0t+φn)+C(2)f_{(t)} = \sum_{n=1}^\infty A_n\cos{(nω_0t+φ_n)}+C \tag{2}

右边表示一系列n 倍频的正弦波的叠加，其中：

cos⁡(nω0t+φn)=ancos⁡(nω0t)+bnsin⁡(nω0t)(3)\cos{(nω_0t+φ_n)} = a_n\cos{(nω_0t)}+b_n\sin{(nω_0t)} \tag{3}

根据欧拉公式

eit=cos⁡t+isin⁡t(4)e^{it} = \cos{t} + i\sin{t} \tag{4}

进一步地，可以将正弦函数表示为复指数形式：

sin⁡t=eit−e−it2(5.a)\sin{t} = \frac{e^{it}-e^{-it}}{2}\tag{5.a}

cos⁡t=eit+e−it2(5.b)\cos{t} = \frac{e^{it}+e^{-it}}{2}\tag{5.b}

那么，(2) 式就可以下面形式，其中F(ωn)F_{(ω_n)} 是与周期相关的表示幅值的函数：

f(t)=∑n=1∞F(ωn)eiωnt+C(6)f_{(t)} = \sum_{n=1}^\infty F_{(ω_n)}e^{iω_nt}+C \tag{6}

如果要求某一周期的正弦分量的幅值，则应该是：

F(ωn)=∫−∞∞f(t)e−iωntdt(7.a)F_{(ω_n)} = \int_{-\infty}^{\infty}f_{(t)} e^{-iω_nt} dt \tag{7.a}

电学上，i 一般表示电流，为避免冲突，一般用j 代替i 作为虚数符号：

F(ωn)=∫−∞∞f(t)e−jωntdt(7.b)F_{(ω_n)} = \int_{-\infty}^{\infty}f_{(t)} e^{-jω_nt} dt \tag{7.b}

最终，得到连续的傅里叶变换的定义式如下：

F(ω)=F[f(t)]=∫−∞∞f(t)e−iωtdt(8)F_{(ω)} = \mathscr{F}[f_{(t)}] = \int_{-\infty}^{\infty}f_{(t)}e^{-iωt}dt \tag{8}

参考链接

  1. 「珂学原理」No. 8 「傅里叶的变换哲学」
  2. 「珂学原理」No. 26「拉普拉斯变换了什么？」
  3. [傅里叶变换及其应用学习笔记]