卷积

发表于 2022-10-07 更新于 2025-09-09 分类于 math 阅读次数：本文字数： 554 阅读时长 ≈ 2 分钟

这里并不是普通意义上的卷积，专用于控制与信号处理中应用

定义式：

\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau) d\tau \tag{1}

将函数拆分成无数个小段，每个小段的间隔为 $\Delta t$ ，任何信号都可以表示为单位序列加权

单位阶跃函数 $u(t), u(t-t_0)$ ，则

u(t)-u(t-t_0)

可以用于筛选一段函数，注意n 等分可以表示横坐标位置

f_n(t) = f(n\Delta t)\{u(t - n\Delta t)-u[t-(n+1)\Delta t]\}

f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n \Delta t)\{u(t - n\Delta t)-u[t-(n+1)\Delta t]\}

将函数右边除以再乘以一个 $\Delta t$ ，会得到关于冲激函数的形式

\frac{u(t - n\Delta t)-u[t-(n+1)\Delta t]}{\Delta t} \Delta t = \delta(t) \Delta t

即：

f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n \Delta t) \delta(0 - n \Delta t) \Delta t

当 $\Delta t \rightarrow 0$ 时，令 $\tau = n \Delta t$ 得到

f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \delta(0 - \tau) \tau

将原函数拆成了无穷个冲激函数的序列

控制系统

对于一个控制系统来说，我们一般会研究其响应函数与激励函数的关系。但是对于激励来说，可能千变万化，于是我们可以将激励拆分为无数个幅值变化的冲激函数序列，而对于系统，我们就只需要知道它的单位冲激相应 $h(t)$ 就好了。于是对于一个线性时不变的系统来说，最终的输出就是一个个冲激响应的叠加，便有了以下方程：

(f*h)(t) = \int_{0}^{\infty} f(t)h(0-t) dt

根据拉普拉斯变换可以得到：

Y(s) = \mathscr{L}[(f*h)(t)] = F(s)H(s)

H(s) = \frac{Y(s)}{F(s)}

其中 $H(s)$ 就是系统的传递函数。传递函数的定义其实应该是来源于系统对单位冲激函数的相应。

控制系统

参考资料