滞回曲线 Hysteresis

滞回现象表现在，在函数的输入/输入到达某一阈值之后，便不会再按照原先的路径返回。最常见的的有铁磁材料的磁滞现象。

如上图所示，在初始条件下$M_0=0,H_0=0$，增大磁场强度$H$，磁化强度$M$ 会沿橙色曲线变化；当达到某一阈值$M\ge M_{max}$ 之后，再缩小$H$，$M$ 就会沿绿色曲线变化；当缩小到到某一阈值$M \le M_{min}$ 之后，再增大$H$，$M$ 就会沿蓝色曲线变化。如此周而复始。

数学模型

$$M = \left\{ \begin{array}{llll} K \tanh([\beta (H-H_0)]) &, blue\\ K \tanh([\beta (H-H_0)) &, green\\ K \tanh([\beta (H)]) &, orange \end{array} \right.$$

上面的函数并不能真实反映物理上的磁滞回线，具体表现在铁磁材料在被磁化中的表现总是不理想的；但是在平稳运行的系统中可以以上面的公式近似表示。真实的磁化过程应如下图所示（通过实验获得）：

Python 实现

在写代码之前，我们首先看一下需要哪些前提条件：

1. 三个公式
2. 两个阈值：$M_{max},M_{min}$
3. 三个参数：$K,\beta,H_0$
4. 一个状态变量：flag

下面是代码部分：

import numpy as np  
import matplotlib.pyplot as plt
from math import tanh

def h0(h, k, beta, h0): 
    return k*tanh(beta*(h)) 

def h1(h, k, beta, h0): 
    return k*tanh(beta*(h-h0)) 

def h2(h, k, beta, h0): 
    return k*tanh(beta*(h+h0)) 

f = h0
flag = 0   # 初始过程，橙色曲线
m_max = 0.99  
m_min = -0.99
def hysteresis(h, k, beta, h0):  
    global f 
    global flag
    if flag == 1:  
        f = h1  
    elif flag == 2:  
        f = h2  
    
    m = f(h, k, beta, h0)
    if m > m_max:  
        flag = 2  
    elif m < m_min:  
        flag = 1
    return m  


x = np.linspace(0,20, 1000)  
y = np.sin(x)
hh = []
for yi in y:  
    hi = hysteresis(yi, 1,10,0.5)
    hh.append(hi)
# hh = hysteresis(y, 1, 3, 1)
plt.plot(y, hh)
plt.legend(('input', 'output'))
plt.title('hysteresis')
plt.show()

得到结果如下图所示：

需要注意的是，阈值与各种参数要配合得当，要写一个通用的库，还是不简单啊！

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📅 2022-09-06 Aachen