偏微分方程 PDE

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一般来说，我们建模的变量都只有时间一个，但是有时候我们还是会遇到时间无关的独立变量。这时就可能需要去解偏微分方程了。

以下列方程为例：

∂u∂t+∂u∂x=0\frac{\partial{u}}{\partial{t}} + \frac{\partial{u}}{\partial{x}} = 0

其中：

  1. x 是独立变量，且0≤x≤10 \leq x \leq 1；
  2. 初始条件1：u0t=t0=sin⁡(2πx)u_{0_{t=t_0}} = \sin({2\pi x})；
  3. 初始条件2：u0x=x0=1u_{0_{x=x_0}} = 1。

根据上面的方程，我们可以进行建模：

model Advection "advection equation"
  parameter Real pi = Modelica.Constants.pi;
  parameter DomainLineSegment1D omega(L = 1, N = 100)  "domain";  // 创建一个定义域，长度为L， 等分为N 份；
  field Real u(domain = omega)                         "field";   // 根据作用域Omega，创建一个因变量u；  
initial equation
  u = sin(2*pi*omega.x)                                "IC";      // 在t=0 时的方程，即初始条件1  
equation
  der(u) + pder(u,x) = 0   indomain omega              "PDE";     // 实际的方程  
  u = 0                    indomain omega.left         "BC";      // 在x=0 之前（左侧）的初始条件，即初始条件2 
  u = extrapolateField(u)  indomain omega.right        "extrapolation";  // 在x 超过作用域之后的边界条件，保持默认
end Advection;

DomainLineSegment1D 参数

record DomainLineSegment1D "Record representing 1-dimensional domain where a partial differential equation hold."
  record Region
  end Region;
  parameter Real x0(unit="m")=0 "x value at left boundary，左边界";
  parameter Real L(unit="m")=1 "length of the domain，自变量长度";
  constant Integer N(unit="")=10 "number of grid nodes，分割数";
  parameter Real dx = L / (N-1) "grid space step" "步长";
  parameter Real[N] x(each unit="m") = array(x0 + i*dx for i in 0:N-1) "space coordinate";
  Region left, right, interior "regions representing boundaries and the interior";
end DomainLineSegment1D;

计算结果

可以调整时间，观察某个时间点函数随x 的变化情况。

注意

  1. 需要通过Tools->Options->Simulation->OMC Flags 给编译器增加--grammar=PDEModelica 标识；
  2. 需要将前后端代码生成器设置成旧的版本，新版本会报错Modified element unit/domain not found in class Integer；
  3. 包含上面代码的库文件不能被自动加载！

参考资料

  1. OpenModelicaで偏微分方程式を解く
  2. PDEModelicaBuiltin.mo – scilab