特征值与特征向量

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看【工程数学基础】1_特征值与特征向量的笔记。

对于特定的线性变换AA，它的特征向量v⃗\vec{v}，在经过这个变换后的新向量v′⃗\vec{v'}，仍然与v⃗\vec{v} 在同一直线上，仅长度或符号发生变化，即：

Av⃗=λv⃗A\vec{v} = \lambda \vec{v}

其中，λ\lambda 是标量，被称为AA 的特征值；v⃗\vec{v} 被称为特征向量。

例题：
对于矩阵A=[114−2]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}

  1. 有向量v1⃗=[12]\vec{v_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}：

Av1⃗=[1×1+1×24×1+(−2)×2]=[30]A \vec{v_1} = \begin{bmatrix} 1 \times 1 + 1 \times 2 \\ 4 \times 1 + (-2) \times 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix}

不是特征向量。
2. 有向量v2⃗=[11]\vec{v_2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}：

Av2⃗=[1×1+1×14×1+(−2)×1]=[22]=2v2⃗A \vec{v_2} = \begin{bmatrix} 1 \times 1 + 1 \times 1 \\ 4 \times 1 + (-2) \times 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix} = 2 \vec{v_2}

是特征向量，特征值是2。

如何求特征值和特征向量

根据Av⃗=λv⃗A\vec{v} = \lambda \vec{v}，可以写作(A−λI)v⃗=0(A - \lambda I) \vec{v} = 0，若使方程有非零解，则要求：

∣A−λI∣=0|A - \lambda I| = 0

以A=[114−2]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -2 \end{bmatrix} 为例，应有∣1−λ14−2−λ∣=0\begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 4 & -2-\lambda \end{vmatrix} = 0
得：−(1−λ)(2+λ)−4=0-(1-\lambda)(2+\lambda)-4 = 0
求得特征值：λ1=2,λ2=−3\lambda_1 = 2, \lambda_2 = -3

根据特征值求特征向量

把上面求得的特征向量分别代入(A−λI)v⃗=0(A - \lambda I) \vec{v} = 0:

  1. 对于λ1=2\lambda_1 = 2，有(A−λI)v⃗=[−114−4][v11v12]=0(A - \lambda I) \vec{v} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 4 & -4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_{11} \\ v_{12} \end{bmatrix} = 0，求得关系v11=v12v_{11} = v_{12}。
  2. 同理，对于λ2=−3\lambda_2 = -3，求得关系−4v21=v22-4v_{21} = v_{22}

因为特征向量的长度不会影响其性质，这里可以取v1⃗=[11],v2⃗=[1−4]\vec{v_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \vec{v_2} = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \end{bmatrix}

特征向量的应用

特征向量可以用来化对角矩阵。
设P=[v1⃗v2⃗]P=\begin{bmatrix} \vec{v_1} & \vec{v_2} \end{bmatrix}，PP 被称为过渡矩阵。则有：

AP=A[v1⃗v2⃗]=[Av1⃗Av2⃗]=[λ1v1⃗λ2v2⃗]=[λ1v11λ2v21λ1v12λ2v22]=[v11v12v12v22][λ100λ2]=PΛAP = A\begin{bmatrix} \vec{v_1} & \vec{v_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A \vec{v_1} & A \vec{v_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_1 \vec{v_1} & \lambda_2 \vec{v_2} \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} \lambda_1 v_{11} & \lambda_2 v_{21} \\ \lambda_1 v_{12} & \lambda_2 v_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} v_{11} & v_{12} \\ v_{12} & v_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} = P \Lambda

如果在左边乘以P−1P^{-1}，则有：

P−1AP=P−1PΛ=ΛP^{-1} A P = P^{-1} P \Lambda = \Lambda

求解微分方程组

特征向量和特征值还可以用来解微分方程组，例如：

[x1˙x2˙]=[114−2][x1x2]\begin{bmatrix} \dot{x_1} \\ \dot{x_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}

可以简写为X˙=AX\dot{X} = A X，令X=PYX = P Y，则X˙=PY˙\dot{X} = P \dot{Y}。
结合AX=APYA X = A P Y，可得PY˙=APYP \dot{Y} = A P Y，两边同时乘以P−1P^{-1} 可得：

Y˙=ΛY\dot{Y} = \Lambda Y

即Y˙=[200−3]Y\dot{Y} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} Y，可得：{y1˙=2y1y2˙=2y2\left\{\begin{matrix} \dot{y_1} = 2y_1 \\ \dot{y_2} = 2y_2 \end{matrix}\right.

即：{y1=C1e2ty2=C2e−3t\left\{\begin{matrix} y_1 = C_1e^{2t} \\ y_2 = C_2e^{-3t} \end{matrix}\right.

X=PY=[111−4][C1e2tC2e−3t]=[C1e2t+C2e−3tC1e2t−4C2e−3t]X = PY = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} C_1e^{2t} \\ C_2e^{-3t} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_1e^{2t} + C_2e^{-3t} \\ C_1e^{2t} - 4C_2e^{-3t} \end{bmatrix}

参考资料

  1. 如何用latex编写矩阵（包括各类复杂、大型矩阵）？