连续系统的离散化

无论是现根据连续系统设计出相应的控制器，然后再对控制器进行离散化；还是先对连续的系统进行离散化，再设计相应的控制器。从结果上看差别并不大。

• 采样频率一般选取为信号最高频率的五到十倍
• 输出量一般使用零阶保持器。若输出信号频率足够高，各种保持器的输出量应该是极为接近的
• 采样周期$T$ 不能小于系统的计算所需时间

连续系统离散化

对于空间状态方程：

$$\dot{X(t)} = AX(t)+BU(t) \tag{1}$$

其解的形式为：

$$X(t)=e^{A(t-t_0)X_{t_0}}+\int_{t_0}^te^{A(t-tau)}BU(\tau)d\tau \tag{2}$$

当使用零阶保持器时，$U(t)=U(kT),kT\leq t\leq(k+1)T$，则$2$ 式可写为：

$$X(t_{k+1})=e^{A(t_{k+1}-t_k)}X(t_k)+\int_{t_0}^te^{A(t-tau)}BU(t_k)d\tau \tag{3}$$

因为$U(\tau)$ 在一个采样周期内可以看作是一个常数，则$3$ 式可以化简为：

$$X(k+1)=e^{AT}X(k)+\int_{0}^T e^{A(T-\tau)}d\tau BU(k)$$

考虑积分变限，最终结果为：

$$X(k+1)=e^{AT}X(k)+\int_{0}^T e^{A\tau}d\tau BU(k) \tag{4}$$

在Matlab 或Octave 中，可以通过sys=ss(A,B,C) 生成连续系统的空间状态方程。然后通过sys_d=c2d(sys, simple_time) 将连续系统离散化。

参考

• 一文书尽离散化——连续系统离散化原理及应用