状态观测器设计

在控制器设计中，$U$ 是根据系统状态确定的，但实际系统中，某个状态可能是不可测的。于是我们需要通过根据系统的输入和输出来估算某个状态的值。这就是系统的观测器。

Luenberger Observer

实际系统的状态空间方程为：

$$\begin{array}{l} \dot{X}=AX + BU \\ Y = CX + DU \end{array} \tag{1}$$

假设$\hat{X}$ 为状态的估计值，$\hat{Y}$ 为输出的估计值，则有：

$$\begin{array}{l} \dot{\hat{X}}=A\hat{X} + BU + L(Y-\hat{Y}) \\ \hat{Y} = C\hat{X} + DU \end{array} \tag{2}$$

我们需要寻找合适的矩阵$L$，使得估计值趋近于实际值。 首先整合式$(2)$，得：

$$\dot{\hat{X}}=(A-LC)\hat{X} + (B-LD)U+LY \tag{3}$$

然后整合式$(1),(3)$ 得：

$$\dot{X}-\dot{\hat{X}}=(A-LC)(X-\hat{X}) \tag{4}$$

令误差$E_x=X-\hat{X}$，则有：

$$\dot{E_x} = (A-LC)E_x \tag{5}$$

要使误差$E_x \rightarrow 0$，则$A-LC$ 的特征值应小于$0$。

从另一个角度理解，建立观测器相当于建立了一个新的反馈系统，使得误差趋近于0。
而$L(Y-\hat{Y})$ 就相当于把实际输出和估计输出的误差反馈给了状态的估计值。

可观测性

假设矩阵$O=\begin{bmatrix} C\\ CA\\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix}$，若$Rank(O) = n$，则系统是可观测的。具体推导过程参考系统的可控性。

分离原理

假设系统如式$(1)$ 所示，且满足可控可观的条件，但是无法通过直接手段测量系统状态。那么：

1. 我们可以设计观测器$\hat{X}$ 去估算系统状态
2. 然后根据观测结果，设计控制器$U=-K\hat{X}$
3. 令$E=X-\hat{X}$将状态反馈$U$ 带入式$(1)$ 可得：

$$\dot{X} = AX - BK\hat{X} = (A-BK)X +BKE \tag{6}$$

合并式$(5),(6)$，可得：

$$\begin{bmatrix} \dot{E_x} \\ \dot{X} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A-LC & 0\\ BK & A-BK \end{bmatrix}\begin{bmatrix} E_x \\ X \end{bmatrix}=M\begin{bmatrix} E_x \\ X \end{bmatrix} \tag{7}$$

而我们的目标就是让$E_x,X$ 都趋近于$0$，即令矩阵$M$ 的特征值有负实部。因为矩阵$M$ 是三角矩阵，所以其特征值也是其主对角元素的特征值。

需要注意的是:

• 观测器的收敛速度应大于控制器的收敛速度
• 观测器可以是纯软件实现，可以简化控制系统的硬件设计

至此，现代控制理论的基本概念就已经全部涉及到了，之后可以再去看书或者实践一些练手项目了。

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