线性控制器设计

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对于开环系统$\dot{X} = AX$，矩阵$A$ 的特征值决定了系统的稳定性；当我们引入输入$U$，而$U$ 又是$X$ 的函数时，就变成了闭环控制系统$\dot{X} = AX +BU$。讨论一个基本情况$U=-KX$，则$\dot{X}=AX-BKX = (A-BK)X$，我们把$A-BK$ 称为闭环的状态空间矩阵$A_{cl}$，通过选取不同的$K$ 就可以使得$A_{cl}$ 的特征值在所需范围之内。

一般过程

以下面系统为例，其状态空间方程为：

$$\dot{X} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}X + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}U$$

这里要求是要使系统稳定在某一点，并不需要跟随输入。

首先分析$A$ 矩阵的特征值为$\lambda_1 = 0, \lambda_2 = 3$，系统不稳定。
然后我们设计$U=-KX=\begin{bmatrix} -k_1 & -k_2 \end{bmatrix}X$，得到$A_{cl}= \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -k_1 & 3-k_2 \end{bmatrix}$
然后我们希望闭环系统的特征值$\lambda_1=\lambda_2=-1$，求得$k_1=0.5, k_2 =5$ 最后还能求得输入$U=\begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & -5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$

如何选取$\lambda$

• $\lambda$ 有虚部会引入震荡
• $\lambda$ 实部的绝对值决定收敛速度
• 还要考虑实际中$U$ 给定的范围
• 最优化控制：有损失函数$J=\int^{\infty}_0 (X^TQX + U^TRU) dt$，根据需要设计不同的$Q,R$ 矩阵，使得$J=J_{min}$

系统会稳定在哪一点：令$\dot{X} = 0$ 即可得系统的稳定点。

LQR 控制器

Linear Quadratic Regulater 是通过引入一个损失函数来确定$A_{cl}$ 的特征值的：

$$J=\int^{\infty}_0 (X^TQX + U^TRU) dt \tag{1}$$

假设$Q,R$ 都是对角矩阵，我们可以这样理解损失函数：

• $X^TQX = q_1x_1^2 + q_2x_2^2 + ... + q_nx_n^2$，表示一种penalty 惩罚的概念，可以看作对误差的反应
• $U^TRU$ 表示输入对系统的影响
  这里我们可以使用matlab 的lqr(sys,Q,R) 来求解特征值。需要注意的是矩阵$Q,R$ 所对应的状态的物理意义

轨迹跟踪

这里仅记录设计的过程

以倒立摆的系统为例：

$$\begin{bmatrix} \dot{x_1} \\ \dot{x_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ \frac{g}{L} & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix}U \tag{2}$$

此系统会稳定在$x_1=\dot{x_1}=x_2=\dot{x_2} = 0$，如果我们希望系统稳定在$x_1 = x_{1d}$时应该怎么做呢？

设计误差函数

我们可以设计误差函数$e=x_{1d} - x_1$，则$\dot{e} = -\dot{x_1}$，可以得到新的系统状态空间方程为：

$$\begin{bmatrix} \dot{e} \\ \dot{x_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -\frac{g}{L} & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix}U + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{g}{L}x_{1d} \end{bmatrix}$$

新的系统会稳定在$e=x_{1d}$ 处，因为我们什么也没做，只是从误差的角度观察了系统而已

设计新的稳定点

我们可以通过调整输入$U$ 来调整系统的平衡点，令：

$$U= -\begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e \\ x_2 \end{bmatrix} + \frac{g}{L}x_{1d}$$

则新系统的空间状态方程转化为：

$$\begin{bmatrix} \dot{e} \\ \dot{x_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -\frac{g}{L}+k_1 & k_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e \\ x_2 \end{bmatrix}$$

平衡点位于$e_f=0,x_{2f}=0$

计算输入

以$\lambda_1=\lambda_2=-1$ 为例，计算$k_1=1+\frac{g}{L}, k_2=-2$，继而得到：

$$U=-\begin{bmatrix} \frac{g}{L} & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e \\ x_2 \end{bmatrix} + \frac{g}{L}x_{1d} \tag{3}$$

将$e=x_{1d}-x_1$ 代入$(3)$ 式，可求得$u= - x_d + (1+\frac{g}{L})x_1 + 2x_2$（这里应该写成矩阵的形式）

Simulink 仿真

仿真结果如下图所示：

可以看到在一定范围内，系统的稳定点会跟随$X_d$ 变化。

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强烈建议看一遍视频，因为视频中还包含Matlab 的实践