线性时不变系统的可控性

观看系统的可控性_Controllability的笔记

系统可控性的定义：对于系统$\dot{X} = AX +BU$，在$t_0$ 时刻处于$X_0$ 状态，存在一组输入$U$，可以将系统的状态转移到$X_1$。

以离散型的系统进行推导，假设系统方程为：

$$X_{k+1} = AX_k + BU_k \tag{1}$$

令$X_0 = 0$那么，从$k=0$ 时开始：

• $X_1 = AX_0 + BU_0 = BU_0$
• $X_2 = AX_1 + BU_1 = ABU_0 + BU_1$
• $X_3 = AX_2 + BU_2 = A^2BU_0 + ABU_1 + BU_2$
• … = …
• $X_n = AX_{n-1} + BU_{n-1} =A^{n-1}BU_0 + A^{n-2}BU_1 + ... + ABU_{n-2} + BU_{n-1}$

最后，$X_n$ 可以写作：

$$X_n = \begin{bmatrix} B & AB & \dots & A^{n-2}B & A^{n-1}B \end{bmatrix}\begin{bmatrix} U_{n-1} \\ U_{n-2} \\ \dots \\ U_{1} \\ U_{0} \end{bmatrix} \tag{2}$$

即，经过$n$ 步之后，我们把系统的状态从$X_0$ 变成了$X_n$，这时定义$\begin{bmatrix} B & AB & \dots & A^{n-2}B & A^{n-1}B \end{bmatrix}$ 叫做$C_o$ 矩阵，$\begin{bmatrix} U_{n-1} \\ U_{n-2} \\ \dots \\ U_{1} \\ U_{0} \end{bmatrix}$ 叫做矩阵$U$，要使矩阵$U$ 有解，则要求$C_o$ 满秩，即$|C_o| = n$。对于连续系统也是一样的。

对于$C_o$ 来说，它和 $\begin{bmatrix} B & AB \end{bmatrix}$ 同秩。$A^n$及以上可以由$A^0, A^1, ···, A^{n-1}$线性组合得到，不会影响秩的变化，所以只需要写到$A^{n-1}*B$ 也就是前$n$ 项

所以对于形如式$(1)$ 的线性定常系统来说，$|C_o|=n$ 就是系统可控的依据。

这里的可控是指状态的可控，而不是过程的可控，在现实系统中，可能有其他的因素影响可控性。