相轨迹图/Phase Portrait

看相图_相轨迹 的笔记
需要注意的是，下文中所有的$x,y,X,Y$ 都是关于时$t$ 的变量，而这里的$y, Y$ 也不是状态空间方程里的$Y$

一般在求解微分方程（组）的时候，我们可以选择两种方法：解析法和数值法。在此之外，我们还有另外一种方案，即绘制向量场图，也被称为相轨迹图：

上图是关于微分方程组$\left\{\begin{array}{l} \dot{x}=y-0.5x \\ \dot{y}=sin(x) \end{array} \right.$的相轨迹图，其横坐标为$x$，纵坐标为$y$，箭头的代表两个变量随时间的流动方向。例如取A 初始位置在(-2,1) 化，A 会沿绿色曲线流动。

一维相轨迹图

以$\dot{f(x)} = x$ 为例，假设上图中横坐标是$x$，纵坐标是$\dot{x}$，红色的曲线与横轴交于左右两点。

为了观察方便，我们未必会将时间$t$ 作为坐标轴，只要能观察到变量$x, \dot{x}$ 随时间变化的趋势就好了。

• 在左边交点$x_1$的左侧，$\dot{x} > 0$，表示$x$ 随着时间的增加会向右移动，直到达到$x_1$。此时变化率为0，达到稳定状态
• 在左边交点$x_1$的右侧，$\dot{x} < 0$，表示$x$ 随着时间的增加会向左移动，直到达到$x_1$。此时变化率为0，达到稳定状态
• 在右边交点$x_2$的左侧，$\dot{x} < 0$，表示$x$ 随着时间的增加会向左移动，逐渐远离$x_2$。
• 在右边交点$x_2$的右侧，$\dot{x} > 0$，表示$x$ 随着时间的增加会向右移动，逐渐远离$x_2$。

二维相轨迹图

同理，对于包含两个变量$x_1,x_2$ 的方程组$\begin{bmatrix} \dot{x_1} \\ \dot{x_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$，令$b=c=0$，则有：

$$\begin{array}{c} \dot{x_1} = ax_1 \\ \dot{x_2} = bx_2 \end{array}$$

• 当$a=d>0$ 时，如下图所示,横坐标是$x_1$，纵坐标是$x_2$。无论起始位置在哪儿，都会远离原点，故不会稳定：
  

• 当$a>d>0$ 时，如下图所示,横坐标是$x_1$，纵坐标是$x_2$。因为$a$ 更大，所以横方向上变化更快，但不会改变远离原点的趋势，故不会稳定：
  

• 当$a>0, d<0$ 时，如下图所示,横坐标是$x_1$，纵坐标是$x_2$。横方向上发散，纵方向收敛，但整体会远离原点，故不会稳定：
  

• 当$a<0, d<0$ 时，如下图所示,横坐标是$x_1$，纵坐标是$x_2$。横方向上收敛，纵方向收敛，系统是稳定的：
  

上面前两种情况中，原点被称为源点（source）是不稳定的；第三种情况被称为鞍点（saddle）也是不稳定的；最后一种被称为汇点（sink）。

更一般的情况

$$\dot{X} = AX \tag{1}$$

令$P=\begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix}, X=PY, \dot{Y} = \Lambda Y$，以$\dot{x}=\begin{bmatrix} -3 & 4 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}X$为例：

1. 求矩阵$A$ 的特征值，得$\Lambda=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$
2. 求矩阵$A$ 的特征向量，得$\begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}=P$
3. 计算$\dot{Y}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}Y, X= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}Y$
   • 对于$Y$ 来说，其$a>0, d<0$ 属于鞍点，是不稳定的
   • 对于$X$ 来说，相当于对$Y$ 的坐标轴进行了线性变换，坐标轴从$y_1,y_2$ 变成了$x_1,x_2$，函数图像有了些许拉伸或压缩，但是不会改变稳定性
   • 所以可以通过$\Lambda$ 判断系统的稳定性（这里建议看视频）

虚部引入了震荡~

相轨迹图的应用