状态空间

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看状态空间 的笔记

对于如下的“弹簧-质量-阻尼系统”，其中k 为弹簧弹性系数、d 为阻尼系数：
定义质量m 向右为正方向，那么对于输入外力f(t)，则有输出x：mx¨=f(t)−kx−dx˙m \ddot{x} = f(t) - k x - d \dot{x}
对上式进行拉氏变换可以得到：ms2X(s)+kX(s)+dsX(s)=F(s)m s^2 X(s) + k X(s) + d s X(s) = F(s)，则该系统的传递函数为：

G(s)=1ms2+ds+k(1)G(s) = \frac{1}{ms^2 + ds + k} \tag{1}

构建空间状态方程组

我们可以选择系统的两个状态z1=x,z2=x˙z_1=x,z_2=\dot{x}，则有：

[z1˙z2˙]=[01−km−dm][z1z2]+[01m][F(t)]\begin{bmatrix} \dot{z_1} \\ \dot{z_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{d}{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{m} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} F(t) \end{bmatrix}

而系统的输出：

X(t)=[10][z1z2]+[0][F(t)]X(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F(t) \end{bmatrix}

写作一般形式：

Z˙=AZ+BUY=CZ+DU(2)\begin{matrix} \dot{Z} = AZ + BU \\ Y = CZ + DU \end{matrix} \tag{2}

状态空间方程与传递函数之间的关系

对系统的状态空间方程左右两端进行拉氏变换，得到：

sZ(s)=AZ(s)+BU(s)(3.1)sZ(s) = AZ(s) + BU(s) \tag{3.1}

Y(s)=CZ(s)+DU(s)(3.2)Y(s) = CZ(s) + DU(s) \tag{3.2}

将3.1左右移项可得(sI−A)Z(s)=BU(s(sI-A)Z(s) = BU(s，左右同时左乘(sI−A)−1(sI-A)^{-1}，可得：

Z(s)=(sI−A)−1BU(s)(3.3)Z(s) = (sI-A)^{-1}BU(s) \tag{3.3}

将式3.3 带入3.2 可得：

Y(s)=C(sI−A)−1BU(s)+DU(s)(3.4)Y(s) = C(sI-A)^{-1}BU(s) + DU(s) \tag{3.4}

则系统的传递函数为：

G(s)=Y(s)U(s)=C(sI−A)−1B+D(4)G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = C(sI-A)^{-1}B + D \tag{4}

如何求矩阵的逆矩阵？

A−1=A∗∣A∣A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}

其中A∗A*，是矩阵AA 的伴随矩阵，对于二阶矩阵来说有一口诀：主对调，副变号 ∣A∣|A| 即为行列式的值，对于二阶矩阵来说，等于：主对角线的积-副对角线的积

对于上面“弹簧-质量-阻尼”系统的模型来说：

  • A=[0−1−km−dm]A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{d}{m} \end{bmatrix}

  • B=[01m]B = \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{m} \end{bmatrix}

  • C=[10]C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}

  • D=[0]D = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}

  • I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

于是求得传递函数为：

G(s)=Y(s)U(s)=1ms2+dms+km(5)G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{\frac{1}{m} }{s^2 + \frac{d}{m}s + \frac{k}{m} } \tag{5}

上下同时乘以1m\frac{1}{m}，即可得到式1。

(sI−A)−1(sI-A)^{-1} 决定了传递函数的极点，因为传递函数的分母是∣(sI−A)∣|(sI-A)| 决定的，参照特征值与特征向量一节，这里的s 就是矩阵AA 的特征值。所以矩阵AA的特征值决定了系统的稳定性！