Nabla算子与梯度、散度、旋度

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摘于：【Nabla 算子】与梯度、散度、旋度-BiliBili
∇\nabla：读作nabla，是希腊语中的一种竖琴。也被称作atled 因为它是Δ\Delta(delta) 倒过来的形状。也有被称作Del，因此∇\nabla 算子也被称作Del 算子

向量的积

在高中时，我们大概学过向量可以表示为v^={x,y,z}\hat{v} = \{x,y,z\}，也可以表示为v^=xi^+yj^+zk^\hat{v}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}，在三维坐标系中可以表示为：

其中：

  • i^,j^,k^\hat{i}, \hat{j}, \hat{k} 分别是xyz 轴上的基底
  • 内积/点乘：
    • 不同方向的基点乘为0，同向为1：i^j^=0,i^i^=1\hat{i}\hat{j}=0, \hat{i}\hat{i}=1
    • v1^⋅v2^=(x1i^+y1j^+z1k^)⋅(x2i^+y2j^+z2k^)=x1x2+y1y2+z1z2=∣v1∣∣v2∣cos⁡(θ)\hat{v_1}\cdot\hat{v_2}=(x_1\hat{i}+y_1\hat{j}+z_1\hat{k})\cdot(x_2\hat{i}+y_2\hat{j}+z_2\hat{k})=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 = |v_1||v_2|\cos({\theta})
    • 可以将矢量计算得到标量，比如：力做功
  • 外积/叉乘：
    • 不同方向的积叉乘为1，方向延右手定则，右手抓去，大拇指的指向：
      • i^i^=0\hat{i}\hat{i}=0
      • i^j^=k^\hat{i}\hat{j}=\hat{k}
      • j^k^=i^\hat{j}\hat{k}=\hat{i}
      • k^i^=j^\hat{k}\hat{i}=\hat{j}
    • v1^⋅v2^=(x1i^+y1j^+z1k^)×(x2i^+y2j^+z2k^)\hat{v_1}\cdot\hat{v_2}=(x_1\hat{i}+y_1\hat{j}+z_1\hat{k})\times(x_2\hat{i}+y_2\hat{j}+z_2\hat{k})
    • =x1y2i^j^+x1z2i^k^+y1x2j^i^+y1z2j^k^+z1x2k^i^+z1y2k^j^=x_1y_2\hat{i}\hat{j}+x_1z_2\hat{i}\hat{k} +y_1x_2\hat{j}\hat{i} +y_1z_2\hat{j}\hat{k} +z_1x_2\hat{k}\hat{i} +z_1y_2\hat{k}\hat{j}
    • =(x1y2−y1x2)k^+(z1x2−x1z2)j^+(y1z2−z1y2)i^=(x_1y_2-y_1x_2)\hat{k}+(z_1x_2 - x_1z_2)\hat{j} +( y_1z_2 - z_1y_2)\hat{i}

数量值函数与向量值函数

一个函数的自变量可以是n 多个，对应着一个n 维空间的向量，其值域可以是一个数值，也可以是一个线性空间或线性空间的子集：

  1. f:Rn→Rf:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}：数量值函数（数量场）
  2. f:Rn→Rmf:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m：向量值函数（向量场）

数量值函数

f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x^2+y^2

向量值函数

f⃗(x,y)=[xy][i^,j^]\vec{f}(x,y) = \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] \left[\hat{i} , \hat{j} \right]

∇\nabla 算子

算子可以将函数转化为另一个函数，而∇\nabla 算子可以实现数量值函数与向量值函数的互相转化、以及向量值函数间的互相转化，其定义式如下：

∇=[∂∂x1,∂∂x2,…,∂∂xn]T=[∂∂x1∂∂x2⋮∂∂xn]\begin{array}{lll} \nabla & = & \left[ \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial{x_1}}, \frac{\partial}{\partial{x_2}}, \dots, \frac{\partial}{\partial{x_n}} \end{matrix} \right]^T \\ &=& \left[ \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial{x_1}} \\ \frac{\partial}{\partial{x_2}} \\ \vdots \\ \frac{\partial}{\partial{x_n}} \end{matrix} \right] \end{array}

在Sympy 中，有一个vector 模块，可以向量的计算。我们首先定义示例函数：f(x,y)=cos(x)+sin(y)f(x,y)=cos(x)+sin(y)

import numpy as np  
import sympy as sp # 导入符号运算库
from sympy.vector import CoordSys3D, Del # 导入坐标系，Nabla 算子
from sympy.utilities.lambdify import lambdify # 此函数可以将sympy 函数转化为可执行的numpy 函数
import matplotlib.pyplot as plt

C = CoordSys3D('C')  # 定义坐标系  
f = sp.cos(C.x) + sp.sin(C.y) # 定义函数  

fZ = lambdify((C.x, C.y), f, "numpy")  # 可执行的numpy 函数

# 函数定义域
x_vals = np.linspace(-5, 5, 100)
y_vals = np.linspace(-5, 5, 100)
X, Y = np.meshgrid(x_vals, y_vals)
Z = fZ(X, Y)

# 绘制函数图像  
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(projection='3d')
ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis')
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
plt.show()

梯度——数量值函数到向量值函数

通过数量乘法，∇\nabla 算子可以将数量值函数转化为向量值函数，表示函数值在各个自变量方向上变化的速度，也被称为梯度（Gradient）：

∇f=[∂∂x1∂∂x2⋮∂∂xn]f\begin{array}{lll} \nabla f & = & \left[ \begin{matrix} \frac{\partial{}}{\partial{x_1}} \\ \frac{\partial{}}{\partial{x_2}} \\ \vdots \\ \frac{\partial{}}{\partial{x_n}} \end{matrix} \right] \end{array} f

通过运行以下代码观察结果：

delop = Del()  # 定义Nabla 算子

grad = delop.gradient(f)  # 求函数的梯度

# 梯度是一组函数，所以要分别对每个坐标转化为numpy 函数进行求解
gradX = grad.dot(C.i).simplify()  # for i
fX = lambdify((C.x, C.y), gradX, "numpy")

gradY = grad.dot(C.j).simplify()  # for j
fY = lambdify((C.x, C.y), gradY, "numpy")

dX = fX(X, Y)
dY = fY(X,Y)

plt.quiver(X,Y,dX,dY)
plt.show()

因为上面的代码坐标点过于密集，可以手工稀疏之后，显示结果如下：

散度——向量值函数到数量值函数

通过内积（点乘），∇\nabla 算子可以将同维度的向量值函数转化为数量值函数，表示函数值在某个点上的发散程度，也被称为散（saˋns\grave{a}n）度（Divergence）：

∇⋅f⃗=[∂∂x1∂∂x2⋮∂∂xn]⋅[f1f2⋮fn]=∂f1∂x1+∂f2∂x2+⋯+∂fn∂xn\begin{array}{lll} \nabla \cdot \vec{f} & = & \left[ \begin{matrix} \frac{\partial{}}{\partial{x_1}} \\ \frac{\partial{}}{\partial{x_2}} \\ \vdots \\ \frac{\partial{}}{\partial{x_n}} \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} f_1 \\ f_2 \\ \vdots \\ f_n \end{matrix} \right] \\ & = & \frac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}} + \frac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}} + \dots + \frac{\partial{f_n}}{\partial{x_n}} \end{array}

可以理解为一个点上流入与流出的量的差。散度是通量的体密度。
上面的例子中，我们已经有了向量场grad，可以对于这个向量场求散度：

diver = delop.dot(grad)  # 求散度公式

diverz = diver.simplify()   # 因为散度是一个数量场，没有许多坐标转化
fZ = lambdify((C.x, C.y), diverz, "numpy")

Z = fZ(X, Y)


# 绘制热力图像
plt.pcolormesh(X, Y, Z, cmap='jet')

# 设置标题和轴标签
plt.title('Sin Function')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')

# 添加颜色条
plt.colorbar()

# 显示图像
plt.show()

从上面的图像中可以看到，温度越高的地方，对应函数梯度是向外发散的，证明此处函数是凹进去的。

电场的散度

此例牵扯到球坐标与直角坐标间的转换问题，具体可参考：电场的高斯定律证明

假设有点电荷在原点处，有电场强度f⃗(x⃗)=x⃗∣∣x⃗∣∣2\vec{f}(\vec{x}) = \frac{\vec{x} }{ {||\vec{x}||}^2}，可得：

∇⋅f⃗=0,(x⃗≠0⃗)\nabla \cdot \vec{f} = 0, (\vec{x} \neq \vec{0})

所以除原点外，电场的散度处处为0

拉普拉斯算子

∇⃗2⋅f=∇⋅∇⋅f\vec{\nabla}^2 \cdot f = \nabla \cdot \nabla \cdot f 表示求一个函数的梯度的散度，这里的ff 的梯度在物理上一般可以是场强或者其他表示势（驱动力）的物理量，例如电场强度E⃗\vec{E}。如果在某一处的值为正，则表示该处存在着一个源，为负则表示此处存在着漏。

旋度——向量值函数到向量值函数

通过向量积（叉乘），∇\nabla 算子可以将同维度的向量值函数转化为另一个向量值函数，表示函数值在某个点上的旋转程度，也被称为旋度（Curl）：

∇×f⃗=[∂∂x1∂∂x2⋮∂∂xn]×[f1f2⋮fn]=∣i⃗j⃗k⃗∂∂x∂∂y∂∂zf1f2f3∣=[∂f3∂y−∂f2∂z∂f1∂z−∂f3∂x∂f2∂x−∂f1∂y]\begin{array}{lll} \nabla \times \vec{f} & = & \left[ \begin{matrix} \frac{\partial{}}{\partial{x_1}} \\ \frac{\partial{}}{\partial{x_2}} \\ \vdots \\ \frac{\partial{}}{\partial{x_n}} \end{matrix} \right] \times \left[ \begin{matrix} f_1 \\ f_2 \\ \vdots \\ f_n \end{matrix} \right] \\ & = & \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial{}}{\partial{x}} & \frac{\partial{}}{\partial{y}} & \frac{\partial{}}{\partial{z}} \\ f_1 & f_2 & f_3 \end{vmatrix} \\ & = & \begin{bmatrix} \frac{\partial{f_3}}{\partial{y}} - \frac{\partial{f_2}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f_1}}{\partial{z}} - \frac{\partial{f_3}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{f_2}}{\partial{x}} - \frac{\partial{f_1}}{\partial{y}} \end{bmatrix} \end{array}

可以理解为一个点附近的流速差。旋度是环量的面密度。需要注意的是旋度一般不超过三维空降。
对于上面梯度的旋度，可以通过代码计算：

curl = delop.cross(grad)  

# 梯度是一组函数，所以要分别对每个坐标转化为numpy 函数进行求解
curlZ = curl.dot(C.k).simplify()  
fZ = lambdify((C.x, C.y), curlZ, "numpy")

Z = fZ(X, Y)

print(Z)

结果发现其旋度处处为0。

麦克斯韦方程组

有了以上的基础，可以理解著名的麦克斯韦方程组（电势的梯度是场强–场强的散度和旋度）：

名称 微分形式 积分形式 说明
高斯定律 ∇⋅E=ρε0\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \oiintSE⋅ds=Qε0\oiint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{s} = \frac{Q}{\varepsilon_0} 闭合曲面电通量与其中包含的电荷量成正比（电场为有源场，散度为ρε0\frac{\rho}{\varepsilon_0}）
高斯磁定律 ∇⋅B=0\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \oiintSB⋅ds=0\oiint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{s} = 0 闭合曲面磁通量恒为0（磁场为无源场，散度为00）
法拉第电磁感应定律 ∇×E=−∂B∂t\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} ∮LE⋅dℓ=−dΦBdt\oint_{L} \mathbf{E} \cdot d\boldsymbol{\ell} = -\frac{d\Phi_B}{dt} 闭合环路中的电场强度的旋度（环路积分等于感应电动势）与磁通密度随时间的变化率成反比
麦克斯韦-安培（环路）定律 ∇×B=μ0J+μ0ε0∂E∂t\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} ∮LB⋅dℓ=μ0I+μ0ε0dΦEdt\oint_{L} \mathbf{B} \cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_0 I + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt} 前半部分是安培环路定律，适合常规电路；后半部分ε0∂E∂t\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}表示位移电流，交变的电场会产生磁场储存能量。可以解释电容为什么能够导通交流电的现象。

另外

关于角动量守恒，以前只想到角动量的值守恒，但是为什么陀螺仪可以保持方向恒定，昨天才忽然想到角动量是矢量，角动量守恒就包括数值的守恒和方向的守恒。

L=r×p\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}

📅 2022-08-10 Aachen
📅 2025-07-13 Tokyo, Update: Maxwell’s Equations, Conservation of Angular Momentum